刘徽：数学奇才与科学先驱
数学之光，科学之道：刘徽的数学奇才与科学先驱
数界探索
2024年9月24日，联合国教科文组织在法国巴黎的总部启动了全球范围内的纪念活动，以致敬中国数学家刘徽。
作为本次活动的一部分，国内也举行了相关的纪念活动，并尊称刘徽为中国古代数学理论的奠基人。
“九章流徽——中国古典数学理论主要开创者刘徽”专题展览
作为中国古代杰出的数学家之一，刘徽不仅对《九章算术》中的各种算法进行了详细注解，并且论证了这些算法的正确性，还基于天文测量中的立表测影技术撰写了《重差》，以此来补充《九章算术》勾股章的不足之处（后来这部著作被命名为《海岛算经》），其学术贡献十分显著。
数学史家郭书春先生赞其为“古代世界数学泰斗”。
不过，由于正史中缺乏对刘徽的记载，学界往往更多地关注他的数学成就与科学精神，而对其个人生平却知之甚少。 这样的情况反映了古代史料记录的局限性以及现代研究者对历史人物评价的侧重点。刘徽作为中国古代杰出的数学家，其理论贡献深远影响了后世，然而由于文献资料的稀缺，我们对于他个人生活的了解仍然十分有限。这种现象提醒我们在研究历史人物时，不仅要关注其学术成就，也要尽可能地还原其生活背景和个人经历，这样才能更全面地理解一个人物及其所处时代的文化背景和社会环境。
那么，刘徽生平究竟如何？为何他在数学史上占据如此重要的地位，但留下的记载却如此稀少呢？这又与他的成就和品格有何关联？ 刘徽作为中国古代杰出的数学家，其在数学领域的贡献不容小觑。尤其是在《九章算术注》中的诸多创新和贡献，奠定了他在数学史上的重要地位。然而，令人遗憾的是，关于他个人生活的详细记载却非常有限，这使得我们难以全面了解这位伟大数学家的生活细节和性格特点。这种历史记录的缺乏，一方面反映了当时文献保存的困难，另一方面也可能暗示了那个时代对于个人成就记录的重视程度不如后来的时代。 刘徽之所以能够取得如此卓越的成就，并非偶然。从现有资料来看，他不仅具备深厚的数学功底，还拥有非凡的洞察力和创造力。而这些特质或许正是促使他能够在数学领域留下深刻印记的原因之一。同时，这也反映出，即便是在史料稀缺的情况下，真正伟大的人物依然能够凭借自身实力，在历史长河中留下浓墨重彩的一笔。这不仅是对刘徽个人才华的认可，也是对其坚韧不拔精神的致敬。
本文旨在基于已有研究成果和现有资料，对其生平事迹进行更为详尽的描绘。
刘徽的生平
刘徽，关于三国时期曹魏年间的一位人物，尽管其生卒年月已无从考证，但可以确定的是他在魏国景元四年（263年）为《九章算术》作了注解。
大观三年（1109）宋廷颁布的“算学祀典”中有“魏刘徽淄乡男”的记载，近人严敦杰先生（1917-1988）据此最先推测刘徽是山东省淄乡人。
在此基础上，郭书春进一步推测淄乡在今山东省邹平县内，并且刘徽是汉文帝刘恒之子梁孝王刘武五世孙菑乡侯之后。
根据现有的资料和各类间接证据分析，这一推断显得颇为合理。
刘徽注《九章算术》自序云“徽幼习《九章》，长再详览”，可见其从小就学习中国古代算学经典《九章算术》。
刘徽自序云“周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。” 即认为《九章算术》是由周代九数（即《周礼》“九数”）演变而来，这一看法与郑玄对《周礼》的注解完全一致，可见刘徽实服膺郑玄之说，儒家经典及其郑玄注也是刘徽学习的教科书。
根据郭书春、周瀚光等学者的研究，刘徽注中明确引用的有《墨子》和《考工记》，间接引用的先秦著作则有《周易》《周礼》《老子》《庄子》《荀子》《管子》等，引用的汉代著作也有《淮南子》《论衡》等篇，可见其读书之博。
刘徽作注的用词和推理模式与当时竹林七贤之一的嵇康（224-263）以及何晏（？-249）、王弼（226-249）等魏晋名士高度类似，可见其深受当时魏晋玄学辩难之风的影响。
考虑到刘徽在数学领域的卓越成就，我们可以推测他实际上也属于嵇康、何晏、王弼等名士一类的人物。
刘徽作注的景元四年，曹魏政权早已名存实亡落入司马氏之手，而且距离司马炎（236-290）称帝仅剩两年。
唐初的李淳风（602-670）曾将刘徽标识为魏国人，然而进入晋朝之后，却没有任何关于刘徽的文字记载。因此，在十多年前，笔者与法国学者林力娜（Karine Chemla）教授交流时推测，刘徽很可能忠于汉魏，未曾为司马氏效力，这可能是他未被载入正史的原因。
按中国古代王朝新立之初，往往需要制礼作乐以彰显其政权的合法性。与刘徽同时代的荀勖（？-289）精通数学、音律、度量衡，于泰始元年（266 年）为司马氏修订律令度量衡，以精准的黄钟之声为晋朝的合法性加持，被加授光禄大夫，《晋书》亦有传。
与荀勖相比，刘徽在天文学和数学领域的才华卓著，然而并未得到司马氏政权的重用。
刘徽自序云“算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子”，又云“当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳”，此两句话一方面显示出,刘徽对其数学水平的高度自信，另一方面又透露出其遗憾或不满未受朝廷重用之情。
刘徽《重差》第一问望海岛，其岛高近 1800 米，按郭书春的推测应实为泰山。
自古以来，泰山因其重要的政治象征意义，自古以来便是历代帝王举行封禅大典的地方。因此，刘徽在提及测量工作时，未直接言及泰山，而是巧妙地避开了这一名称，转而提到“测海岛”，这其中隐约透露出一定的政治意味。
又刘徽注《九章算术》两处提到晋武库中王莽铜斛，并以之来核验其所得之圆周率。
过去学术界普遍认为这是晋朝的武库，也有人推测刘徽确实考察过铜斛。后来，莫绍揆（1917-2011）提出这实际上是晋王的武库这一观点。
其实，王莽铜斛作为国家法定量器，不仅体现了古代度量衡的标准，还承载着政权更迭的历史象征意义。然而，由于刘徽与司马家族的关系并不密切，他在晋朝时期可能难以有机会接触到这件珍贵的文物。 刘徽生活在三国末期至西晋初年，尽管他对数学有着卓越的贡献，但这段历史背景使得他即便有心研究王莽铜斛这样的国之重器，也因社会关系的限制而面临重重困难。这不仅是个人学术追求上的遗憾，也是那个时代社会结构和政治环境对学术交流和研究造成的影响的一个缩影。通过刘徽的故事，我们可以更加深刻地理解到，即使是在学术领域，社会关系和个人际遇也往往能够左右一个人的研究方向和成就。同时，这也提醒我们，在评价历史人物时，除了关注其个人才华和努力外，还应考虑到其所处时代的社会环境对其产生的影响。
魏甘露三年（258年）起，司马昭（211-265）多次被封为晋王、晋公，但他坚决推辞不接受这些荣誉。当时象征权柄的王莽铜斛很可能已被移至晋武库中保存。这一系列事件反映了司马昭在权力与谦逊之间的微妙平衡。他虽然拥有足够的实力和声望，却通过拒绝更高的爵位来展示自己无意篡夺曹魏政权的决心，这种行为赢得了朝野内外的广泛尊重。司马昭的谦让姿态不仅巩固了他在政治上的地位，也体现了他作为一位政治家的智慧与谨慎。 司马昭的行为显示了他高超的政治手腕。在那个动荡的时代，他既没有选择激进地追求权力，也没有完全放弃对更高地位的渴望。通过这样的方式，司马昭成功地塑造了自己的形象，并为后来司马炎建立晋朝奠定了基础。这也提醒我们，在权力面前保持清醒头脑的重要性，以及如何恰当地处理个人与国家利益的关系。司马昭的做法不仅是对当时政治局势的一种适应，也是对未来历史进程的一种深远影响。
以此论之，刘徽以数学来核验铜斛，实亦有政治意味。
刘徽之后，祖冲之（429-500）也做了类似工作，但祖氏是刘宋朝廷官员，其作为显然为官方所认可。
由此可见，以重差之术测望泰山、以圆周率核校王莽铜斛实均有对司马政权不满之意，是以入晋以后便再无任何关于刘徽生平事迹的文字记载。 在历史的长河中，刘徽的学术贡献及其对司马政权的隐晦批评显得尤为独特。他以严谨的数学方法，如重差之术和圆周率的精确计算，展现了他对传统权威的质疑与挑战。这种通过学术表达个人政治立场的方式，在当时的社会背景下显得尤为大胆。然而，进入晋朝之后，刘徽的生平事迹却鲜有记载，这或许反映了他在新的政治环境下选择了沉默，或是历史记录者有意回避了与他相关的敏感内容。刘徽的故事不仅展示了古代学者如何巧妙地运用科学知识来表达个人观点，也揭示了权力更迭对知识分子命运的影响。从他的经历中，我们得以窥见那个时代复杂的政治氛围以及学者们所面临的艰难选择。
刘徽的数学成就
根据现行版本的《九章算术》，该书分为九卷，共收录246个数学问题。现代数学史研究者郭书春、李继闵和林力娜等人均指出，此书并非简单的数学问题汇编，而是以算法为核心，展现了独特的数学体系特点。
然而，《九章算术》并无对算法正确性的说明，例如对于圆面积仅云“半周乘半径为积步”（即相当于圆面积 S=C/2 x D/2），刘徽注则补充了大量关于算法正确性的论证。
数学史家林力娜认为演绎证明既非古希腊的特产，也不是证明的唯一形式，遂认为刘徽注实为中国数学的证明。
逻辑学家鞠实儿提出了广义论证理论，并认为刘徽的注释是中国古代的一种逻辑论证。此外，美国斯坦福大学的内兹教授（Reviel Netz）对刘徽和古希腊数学家阿基米德进行了比较研究。
刘徽自序有云“析理以辞，解体用图”。郭书春认为刘徽以“率”解析算法，数学家吴文俊（1919-2017）则认为刘徽以“出入相补”原理论证几何公式。
尤其是，在《九章算术》割圆术证明圆面积算法、阳马术证明阳马和鳖臑体积算法、开方术证明筹算开方法等注释中，刘徽运用了近于无穷分析的方法，展现了极高的逻辑思维能力和精益求精的学术品格。
以往吴文俊、李文林等学者指出，总体来看，中国数学传统与古希腊数学传统在方法论上各具特色，分别侧重于算法的应用与演绎证明的严谨性。 这种对中西数学传统的区分，不仅反映了不同文化背景下思维方式的差异，也体现了各自解决问题的独特路径。中国数学强调实用性和计算技巧，这在中国古代的天文学、历法制定以及工程计算中得到了充分体现。而古希腊数学则更注重逻辑推理和理论建构，其演绎证明的方法奠定了西方数学体系的基础。这种差异性的研究有助于我们更好地理解不同文明如何通过各自的路径发展出独特的数学知识体系，同时也提醒我们在学习和借鉴他国经验时，应当充分考虑文化背景的差异，以达到更好的理解和应用效果。
以刘徽注视之，我们可以说中国数学证明往往出现在注疏而非经文之中，从而容易被忽略。
唐初时期，李淳风等人奉诏整理了汉唐时期的算经，最终将刘徽的注释选定为《九章算术》的标准版本，并将其纳入教材，同时参考了祖冲之等人的注解。这部教材被定为国子监算学馆的教学用书。这表明李淳风对刘徽的数学贡献给予了极高的评价。 从历史的角度看，这一举措不仅体现了当时朝廷对于数学教育的重视，也彰显了刘徽在数学领域的卓越地位。刘徽的注释能够成为官方认可的标准版本，说明其在理论上的严谨性和实用性得到了广泛的认可。同时，这也反映出古代中国在数学教育方面的系统化和规范化，以及对前人智慧的传承与尊重。通过这样的方式，后世得以更好地理解和学习中国古代数学的精髓，也为后来数学的发展奠定了坚实的基础。
由此可见，作为为《九章算术》算法提供全面证明和论证的学者，刘徽在数学领域的卓越贡献早在唐代便已广为人知。 刘徽对《九章算术》的深入研究与系统证明，不仅深化了人们对古代数学智慧的理解，还为后世学者提供了宝贵的参考依据。他的工作不仅限于数学领域，更是在历史长河中树立了一座学术丰碑，展现了中国古代数学的独特魅力与深厚底蕴。刘徽的研究成果表明，即便是在千年前的技术条件下，古人也能够达到令人惊叹的科学成就，这无疑是对我们今天科学研究的一种激励与启发。
《九章算术注》
刘徽的科学精神
刘徽的学问品格与其精神世界密不可分。他不仅注重自身研究，还十分尊重他人的贡献。正如他在自序中所言：“是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。”这表明他的注释中包含了前人的智慧结晶，而且在他的注解中也经常引用前人的观点。 从刘徽的这种态度来看，我们可以感受到他对学术研究的严谨与谦逊。在当今社会，学术界有时会过于强调个人成就，而忽视了对前辈学者贡献的认可。刘徽的做法提醒我们，在追求知识的过程中，应该保持开放的心态，尊重并吸收前人的研究成果，这样才能更好地推动学术的进步和发展。同时，这也是一种高尚的人格体现，即在成就面前不忘感恩之心。
为此，钱宝琮（1892-1963）、严敦杰、郭书春等学者进一步深入研究，揭示了刘徽著作中“采其所见”的具体内涵。这些学者通过细致的文献考据和数学分析，不仅丰富了我们对刘徽思想的理解，还为古代中国数学史的研究提供了更为坚实的基础。 从这一研究可以看出，现代学者在继承前人智慧的同时，不断挖掘和阐释古代数学家的思想精髓，这不仅是学术研究的进步，也是对传统文化的一种传承和发展。这种跨时代的对话与交流，使我们能够更好地理解中国古代数学的独特价值和深远影响，对于促进现代数学的发展同样具有重要意义。
刘徽亦十分相信后学。
在计算球体积的过程中，古人设计出了牟合方盖这一几何模型，但却无法求出其体积，于是感叹道“敢不阙疑，以俟能言者。”这个问题最终由祖冲之父子解决。
显然，刘徽不仅充满自信，而且对自己在数学上的成就有着非常清晰和准确的认知。
刘徽勇于批评和指出他人的错误。
传统数学中的周三径一之率，即圆周长与直径的比例为3:1，这一比例在历史上被广泛接受。然而，刘徽却直言不讳地批评道：“世传此法，莫肯精核，学者踵古，习其谬失。”这句话不仅反映了古代学者对这一比例的盲从，也揭示了当时学术界对于精确性的忽视。 在我看来，刘徽的批评不仅仅是对一个具体数学公式的质疑，更是对学术态度的一种深刻反思。它提醒我们，在追求知识的过程中，不应仅仅满足于前人的结论，而应该勇于质疑、深入探究，以求达到更接近真理的认识。这种严谨的学术精神，在今天同样具有重要的现实意义，尤其是在科学研究和技术发展的领域，更需要我们不断探索和验证，避免陷入前人错误的窠臼之中。通过这样的思考，我们可以更好地理解历史，同时也能指导现代人如何更加科学地对待知识与学术。
其批评张衡关于球体积计算只考虑阴阳学说，则直云“衡说之自然，欲协其阴阳奇耦之说而不顾疏密矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。”
中国古代的数学计算主要依赖于筹算，这种工具在魏晋时期被广泛使用。然而，随着时间的推移，社会上逐渐形成了一种浮夸的风气，人们为了炫耀自己的数学能力，不惜大量使用算筹，以至于原本用来简化计算过程的工具反而成为了炫耀的手段，这无疑偏离了筹算最初的实用价值。 在我看来，这种现象反映了当时社会对于知识和技术的一种误解或误用。表面上看，人们似乎更加重视数学知识，但实际上却忽略了数学本身的价值和意义，即通过有效和简洁的方法解决问题。这种风气不仅影响了数学教育的发展方向，也可能导致学术研究中的形式主义倾向，使得真正有价值的数学发现和创新被边缘化。因此，我们应当警惕这种过度追求表面功夫的现象，而应更加注重知识的本质和实际应用。
刘徽曾言“有人使用算筹时却导致计算失误，反而喜欢繁琐的方法并乐于犯错，竟然不知道这样做是错误的，反而认为复杂的算法才是高级的”。
为此，刘徽在方程章中提出了“虽布算不多，然足以算多”的简约原则，并亲自示范了新的方程解法。
笔者认为此举旨在最大限度地发挥筹算的作用（类似于当前编程时选择占用内存空间最小的算法）。这一问题最终在南宋秦九韶（1208-1268）于1247年编著的《数书九章》中通过算图得到了解决。
从世界数学史的角度看，文本化和符号化是古代数学通往现代数学的必经之路。刘徽的思想可谓是这一进程的先驱。刘徽在《九章算术注》中对数学概念进行了详尽的阐述，并引入了多种符号系统，这不仅为当时的数学研究提供了便利，也为后世数学的发展奠定了坚实的基础。 刘徽的工作不仅是中国古代数学的重要里程碑，也对全球数学史产生了深远的影响。他所开创的文本化和符号化的数学表达方式，极大地促进了数学知识的传播与交流。这一点尤其值得我们今天的数学教育者和研究者深思，即如何通过更加直观和简洁的方式，使复杂的数学理论更容易被理解和掌握。在信息化时代背景下，这种思想依然具有重要的现实意义，它启示我们在数学教学和科研中应更多地采用符号化和图形化的方法，以提升学习效率和研究水平。
总之，我们可以推测刘徽出生于曹魏间，或由于家庭背景的原因自小便受到了良好的教育，学习了诸子百家与《九章算术》，并且在魏晋玄学的影响下成长为一代名士，完成对《九章算术》的注释并作《重差》“缀于勾股之下”，取得了高度理论化的数学成就。
其为人实事求是、敢于直言是非，又尊重他人、相信后学，对自己的成就有高度自信和清醒认识。入晋以后，或由于不满司马氏政权、拒绝与其合作，从而正史无传。 入晋之后，此人以其实事求是的态度和敢于直言的精神著称，既尊重他人的观点，又对后辈充满信心。尽管对自己取得的成就有着清晰的认知与自信，但他在晋朝时期却因不满司马氏政权而选择不与其合作，因此在正史中并未留下记载。 从历史的角度来看，这种行为反映出他对权力结构的深刻洞察和个人原则的坚守。尽管他的事迹未被正史记载，但其人格魅力和独立精神仍然值得后人敬仰。这种对权势的拒绝不仅体现了个人的道德操守，也反映了当时社会环境下知识分子对于政治立场的选择。在今天看来，这种坚持自我原则的态度仍具有重要的现实意义。
刘徽的生平事迹在中国数学史上极为罕见，或许只有一千年后的金朝大儒李冶（1192-1279）能够与其相提并论。 刘徽作为中国古代杰出的数学家，其贡献在历史上却鲜为人知，这与他卓越的成就形成了鲜明对比。相比之下，李冶虽然生活在刘徽之后的一千年，但他的学术成就同样得到了后世的高度认可。这种现象反映了历史记录和传承中的某些不足之处，也提醒我们应当更加重视对历史人物的研究与宣传，以便更好地了解和传承他们的智慧与贡献。刘徽与李冶之间的对比，不仅展示了中国数学的深厚底蕴，也折射出不同时代背景下学术研究的不同特点与价值。
元朝皇帝忽必烈曾有意任命李冶为翰林学士，但李冶以身体不适为由婉拒了这一职位，选择隐居山林，不再涉足官场。这一举动不仅体现了他对学术研究的执着追求，也反映了他淡泊名利的人生态度。在那个权力斗争激烈的年代，李冶能够坚守自我，坚持自己的生活方式，无疑是一种难能可贵的精神体现。他的选择不仅为后人树立了一个追求内心平静与自由的典范，同时也让后世更加敬佩他在数学领域的卓越贡献。李冶的这一决定，使他在历史长河中不仅仅是一个才华横溢的学者，更成为了一个追求精神自由的象征。
其去世之前，语其子克修云“吾平生著述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者，庶可布广垂永乎”。
所谓《测圆海镜》实与刘徽《重差》一类，都是属于《九章算术》勾股章下的数学发展，而刘、李两人都有对自己学问高度自信以及不伍于世流的特点，可谓隔代知音。